FGM(1,N) 灰色预测
方法概述
FGM(1,N)（Fractional Grey Model，分数阶灰色多变量模型）由吴利丰提出，核心思想是对原始序列进行分数阶累加（\(r\) 阶，\(r \in (0,1]\)），再建立 GM(1,N) 模型。相比一次累加，分数阶累加能根据数据特征自适应调整累加强度，从而更灵活地刻画序列的演化规律。
模型在 \(r\) 阶累加空间中定义为：
\[ x_1^{(0)}(k) + a z_1^{(r)}(k) = \sum_{i=2}^{N} b_i x_i^{(r)}(k) \]
其中 \(x_1^{(0)}\) 为因变量原始序列，\(x_1^{(r)}\)、\(x_i^{(r)}\) 为 \(r\) 阶累加序列，\(z_1^{(r)}(k) = 0.5(x_1^{(r)}(k) + x_1^{(r)}(k-1))\) 为背景值，\(a\) 为发展系数，\(b_i\) 为驱动系数。工具通过黄金分割搜索在 \(r \in [0.1, 1]\) 内最小化历史拟合均方误差，自动确定最优阶数 \(r^*\)。当 \(r=1\) 时退化为传统 GM(1,N)。
\(r\) 阶累加定义为：
\[ x^{(r)}(k) = \sum_{i=1}^{k} w_{k-i} x(i), \quad w_0 = 1, \quad w_m = w_{m-1} \frac{r+m-1}{m} \]
计算步骤
1. 数据准备与验证
设有 \(n\) 个历史观测时刻，每个时刻包含一个因变量和 \(N-1\) 个自变量。数据应满足：
- 至少 4 个观测点；
- 至少 1 个自变量；
- 因变量和自变量均为数值型正数（若非正数，建议平移变换）。
2. 分数阶累加生成
对给定阶数 \(r\)，对因变量和各自变量分别进行 \(r\) 阶累加：
\[ x_1^{(r)}(k) = \sum_{i=1}^{k} w_{k-i} x_1(i), \quad x_i^{(r)}(k) = \sum_{i=1}^{k} w_{k-i} x_i(i) \]
3. 构造背景值序列
\[ z_1^{(r)}(k) = 0.5 \left( x_1^{(r)}(k) + x_1^{(r)}(k-1) \right), \quad k=2,3,\dots,n \]
4. 构造矩阵方程并估计参数
对 \(k=2,3,\dots,n\) 构造方程组，写成矩阵形式 \(Y = B \cdot \theta\)：
\[ Y = \begin{bmatrix} x_1^{(0)}(2) \\ x_1^{(0)}(3) \\ \vdots \\ x_1^{(0)}(n) \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} -z_1^{(r)}(2) & x_2^{(r)}(2) & \cdots & x_N^{(r)}(2) \\ -z_1^{(r)}(3) & x_2^{(r)}(3) & \cdots & x_N^{(r)}(3) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -z_1^{(r)}(n) & x_2^{(r)}(n) & \cdots & x_N^{(r)}(n) \end{bmatrix}, \quad \theta = \begin{bmatrix} a \\ b_2 \\ \vdots \\ b_N \end{bmatrix} \]
参数由最小二乘法估计：\(\theta = (B^\top B)^{-1} B^\top Y\)。
5. 搜索最优阶数
定义拟合均方误差：
\[ \operatorname{MSE}(r) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left( x_1(k) - \hat{x}_1(k; r) \right)^2 \]
采用黄金分割搜索在 \(r \in [0.1, 1]\) 内最小化 \(\operatorname{MSE}(r)\)，得到最优阶数 \(r^*\)，并以 \(r^*\) 对应的参数建立最终模型。
6. 拟合值计算
以 \(\hat{x}_1^{(r)}(1) = x_1^{(r)}(1)\) 为初值，递推求解累加拟合值：
\[ (1 + 0.5 a) \hat{x}_1^{(r)}(k) = \sum_{i=2}^{N} b_i x_i^{(r)}(k) + (1 - 0.5 a) \hat{x}_1^{(r)}(k-1) \]
再通过 \(r\) 阶累减还原得到原始尺度拟合值 \(\hat{x}_1(k)\)。
7. 模型精度检验
相对误差检验
计算各时刻的相对误差：
\[ \Delta_k = \left| \frac{x_1(k) - \hat{x}_1(k)}{x_1(k)} \right| \times 100\% \]
平均相对误差 \(\bar{\Delta} = \frac{1}{n} \sum \Delta_k\)。精度等级划分如下：
| 等级 | 平均相对误差 |
|---|---|
| 优（一级） | < 1% |
| 良（二级） | < 5% |
| 合格（三级） | < 10% |
| 不合格（四级） | ≥ 10% |
后验差检验
- 因变量方差：\(S_1 = \operatorname{Var}(x_1)\)
- 残差方差：\(S_2 = \operatorname{Var}(x_1 - \hat{x}_1)\)
- 后验差比值：\(C = S_2 / S_1\)
- 小误差概率：\(P = P\left( |\varepsilon_k - \bar{\varepsilon}| < 0.6745 \sqrt{S_1} \right)\)
精度等级划分：
| 等级 | 后验差比值 C | 小误差概率 P |
|---|---|---|
| 好（一级） | C < 0.35 | P > 0.95 |
| 合格（二级） | C < 0.50 | P > 0.80 |
| 勉强合格（三级） | C < 0.65 | P > 0.70 |
| 不合格（四级） | C ≥ 0.65 | P ≤ 0.70 |
8. 未来预测
若用户提供未来时段的自变量数据，则将未来自变量拼接在历史序列之后进行整体分数阶累加，再沿递推公式求解未来累加预测值：
\[ (1 + 0.5 a) \hat{x}_1^{(r)}(n+t) = \sum_{i=2}^{N} b_i x_i^{(r)}(n+t) + (1 - 0.5 a) \hat{x}_1^{(r)}(n+t-1) \]
由于 \(r\) 阶累减在 \(k\) 处依赖该点之前的全部累加值，对”历史+预测”整体序列累减后取末位，得到原始尺度预测值 \(\hat{x}_1(n+t)\)。
案例分析
案例背景：某地区拟预测下一年度的 GDP，收集了以下数据：GDP（因变量，亿元）、固定资产投资（X1，亿元）、消费支出（X2，亿元）。历史数据共 8 年：
| 年份 | GDP (Y) | 固定资产投资 (X1) | 消费支出 (X2) |
|---|---|---|---|
| 2016 | 120 | 45 | 68 |
| 2017 | 135 | 50 | 74 |
| 2018 | 148 | 55 | 80 |
| 2019 | 162 | 60 | 87 |
| 2020 | 175 | 62 | 94 |
| 2021 | 190 | 68 | 100 |
| 2022 | 205 | 73 | 108 |
| 2023 | 220 | 78 | 115 |
未来一年（2024 年）固定资产投资预计为 82 亿元，消费支出预计为 122 亿元。
计算过程（简略）：
- 分数阶累加：黄金分割搜索得最优阶数 \(r^* = 0.9844\)，据此对 \(y\)、\(x_1\)、\(x_2\) 做分数阶累加。
- 构造背景值 \(z^{(r)}(k) = 0.5(y^{(r)}(k)+y^{(r)}(k-1))\)。
- 最小二乘估计：计算得到 \(a = 1.5694\)，\(b_1 = -1.3886\)，\(b_2 = 3.9380\)。
- 拟合：递推并累减还原得到各年拟合值 120.00、133.97、149.86、163.35、178.88、189.33、204.35、217.72。
- 检验：平均相对误差 0.85%（优），后验差比值 C=0.056，小误差概率 P=1.00，模型精度为”好（一级）“。
- 预测：整体累减还原得到 2024 年 GDP 预测值约为 231.67 亿元。
结论：模型拟合良好，分数阶累加在保持高精度的同时给出合理的预测结果。
常见问题
Q1: FGM(1,N) 与 GM(1,N) 的区别是什么？
A: FGM(1,N) 对原始序列做 \(r\) 阶分数阶累加而非固定一次累加，并通过优化 \(r\) 自适应调整累加强度，能更灵活地匹配不同演化形态的数据。
Q2: 最优阶数 \(r\) 有什么意义？
A: \(r\) 控制累加强度。\(r=1\) 时退化为传统 GM(1,N)；\(r\) 越接近 0.1，累加越弱，越贴近原始数据的波动形态。\(r\) 通过最小化拟合误差自动确定。
Q3: 分数阶累加是否仍满足小样本要求？
A: 是。FGM(1,N) 仍是灰色系统模型，保留小样本、贫信息建模的优势，但需要至少 4 个观测点以稳定估计参数。
Q4: 发展系数 \(a\) 的符号有什么意义？
A: \(a<0\) 表示系统呈增长趋势，\(a>0\) 表示衰减趋势，\(a=0\) 表示平稳。其绝对值大小反映趋势强度。
Q5: 自变量之间可以存在多重共线性吗？
A: 与普通回归类似，严重的多重共线性会导致参数估计不稳定。建议通过相关分析筛选自变量。
Q6: 未来自变量数据如何准备？
A: 上传的未来数据文件应包含与历史自变量相同列数的数值，可包含时间列（工具自动识别），也可不含时间列。列顺序应与历史自变量一致。
平台功能
- 数据输入：支持 CSV、Excel、TXT，自动识别时间列、因变量列和自变量列。
- 未来预测：支持上传未来自变量数据，自动生成预测值。
- 参数设置：
- 小数位数（1~10）
- 显示/隐藏中间计算过程
- 结果展示：
- 预测结果表（历史拟合 + 未来预测）
- 模型参数表（\(a\)、\(b_i\)）与最优阶数 \(r^*\)
- 相对误差检验（平均相对误差及等级）
- 后验差检验（C、P 及精度等级）
- 精度等级对照表
- 中间计算过程（分数阶累加序列、矩阵 B、向量 Y）
- 可视化：
- 原始值、拟合值、预测值叠加曲线图
- 支持丰富的绘图参数（标题、标签、颜色、线型、散点样式、主题风格、字体等）
- AI 智能分析：自动解读模型精度、参数含义和预测结果（每日限 3 次，需配置 API 密钥）。
- 报告导出：Excel 报告（含汇总、参数、预测、检验）和 HTML 报告（含等级标注）。
使用建议
- 数据准备：确保因变量和自变量均为正数。若含非正数，建议先做平移变换。
- 自变量选择：选择对因变量有明确影响的自变量，避免过多无关变量。
- 模型检验：务必同时检查平均相对误差和后验差检验，若两者等级差异大，以相对误差为准。
- 预测外推：未来自变量的设定应基于合理的预测假设，否则预测结果不可靠。
- 结果可视化：利用绘图参数调整图形样式，使其清晰展示历史拟合与未来预测的衔接。
平台界面
+灰色预测界面预览)
平台界面包含：数据上传区（历史数据与未来自变量数据）、参数设置（小数位数、显示中间结果）、多工作表预览、结果展示（预测结果表、模型参数、检验指标、中间计算过程）和可视化图表（含丰富的绘图参数自定义）及 AI 分析模块
参考文献
- 吴利丰, 刘思峰, 姚立根. 分数阶累加灰色模型 FGM(1,N) 及其应用[J]. 系统工程理论与实践, 2015.
- 刘思峰, 党耀国, 方志耕. 灰色系统理论及其应用[M]. 科学出版社, 2010.
- 邓聚龙. 灰色系统基本方法[M]. 华中理工大学出版社, 1987.