UTASTAR法

方法概述

UTASTAR（UTilité Additive STAR）是一种基于加性效用函数的多准则决策方法，由 Jacquet-Lagrèze 和 Siskos 于1982年提出。该方法通过构建每个指标的边际效用函数，将各指标的原始值转化为效用值，并累加得到方案的总效用，从而对方案进行排序。

UTASTAR法的核心思想是：

  • 根据决策者的先验知识或历史数据，确定各指标的偏好方向（极大型、极小型、中间型、区间型），并对原始数据进行正向化处理。
  • 将正向化后的数据标准化到 [0,1] 区间。
  • 对每个指标，在 [0,1] 区间内划分为若干等距分段，构造分段线性边际效用函数。
  • 通过线性规划或简化方法估计边际效用函数的参数（即各分段点的效用值），使得各方案的总体效用与给定的排序（如果有）尽可能一致。
  • 若无给定排序，则直接根据总效用大小对方案排序。
  • 最终得到各指标的权重（由边际效用的总变化计算）和各方案的总效用值。

该方法能够从数据中“学习”出决策者的偏好结构，适用于存在历史排序或需要揭示内在偏好规律的评价问题。

计算步骤

1. 构建原始数据矩阵

设有 \(n\) 个评价对象（方案），\(m\) 个评价指标，原始数据矩阵为：

\[ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \end{bmatrix} \]

若已知各方案的先验排序，可将排序向量作为附加列（可选）。

2. 数据正向化

根据每个指标的类型，将原始数据转换为“越大越好”的形式（极大型）。平台支持以下四种类型：

（1）极大型指标（越大越好）

保持不变： \[ y_{ij} = x_{ij} \]

（2）极小型指标（越小越好）

\[ y_{ij} = \max(x_j) - x_{ij} \]

（3）中间型指标（越接近某固定值 \(a\) 越好）

设 \(M = \max |x_{ij} - a|\)，则： \[ y_{ij} = 1 - \frac{|x_{ij} - a|}{M} \] 若 \(M=0\)（所有值均等于 \(a\)），则 \(y_{ij}=1\)。

（4）区间型指标（落在区间 \([a,b]\) 内最好）

设 \(M = \max(a - \min(x_j), \max(x_j) - b)\)，则： \[ y_{ij} = \begin{cases} 1 - \frac{a - x_{ij}}{M}, & x_{ij} < a \\ 1, & a \leq x_{ij} \leq b \\ 1 - \frac{x_{ij} - b}{M}, & x_{ij} > b \end{cases} \] 若 \(M=0\)（所有值均落在区间内），则 \(y_{ij}=1\)。

3. 数据标准化

将正向化后的数据通过极差标准化映射到 \([0,1]\) 区间：

\[ z_{ij} = \frac{y_{ij} - \min(y_j)}{\max(y_j) - \min(y_j)} \]

若 \(\max(y_j) = \min(y_j)\)，则 \(z_{ij}=1\)。

4. 构建边际效用函数

对于每个指标 \(j\)，将其取值范围 \([0,1]\) 等分为 \(k\) 段（\(k\) 为分段数，由用户指定，通常取 3~10），得到 \(k+1\) 个分段点 \(0 = \xi_j^0 < \xi_j^1 < \cdots < \xi_j^k = 1\)。

设分段点处的边际效用值为 \(u_j^0, u_j^1, \dots, u_j^k\)，满足 \(u_j^0 = 0\)，且 \(u_j^t\) 随 \(t\) 单调非减（对极大型指标）。在任意点 \(z \in [\xi_j^{t-1}, \xi_j^t]\)，边际效用由线性插值得到：

\[ u_j(z) = u_j^{t-1} + \frac{u_j^t - u_j^{t-1}}{\xi_j^t - \xi_j^{t-1}} (z - \xi_j^{t-1}) \]

5. 计算总效用

方案 \(i\) 的总效用为各指标边际效用之和：

\[ U_i = \sum_{j=1}^{m} u_j(z_{ij}) \]

6. 确定边际效用参数

若有先验排序（即用户提供了各方案的排名），则通过求解线性规划模型来估计边际效用参数，使得排序误差最小化（UTASTAR 标准算法）。本平台简化实现：若无排序向量，则默认边际效用为线性递增，即 \(u_j^t = t/k\)；若有排序向量，则根据排序调整参数（实际代码中暂未实现完整线性规划，但保留了接口）。

7. 计算指标权重

指标 \(j\) 的权重由边际效用的总变化决定：

\[ w_j = \frac{u_j(1) - u_j(0)}{\sum_{i=1}^{m} [u_i(1) - u_i(0)]} \]

由于 \(u_j(0)=0\)，\(u_j(1)\) 即为指标 \(j\) 的最大边际效用。将所有权重归一化后得到各指标的最终权重。

8. 方案排序

根据总效用 \(U_i\) 从大到小排序，\(U_i\) 越大表示方案越优。若有先验排序，则计算排序与先验排序的吻合程度。

案例分析

案例背景：某企业拟从四个供应商（A、B、C、D）中选择合作伙伴，评价指标包括：产品质量（极大型）、价格（极小型）、交货准时率（极大型）。原始数据如下：

供应商 产品质量 价格 交货准时率
A 85 200 0.95
B 90 180 0.90
C 75 210 0.85
D 80 190 0.92

设分段数 \(k=5\)，无先验排序，采用默认线性边际效用。

计算过程

1. 数据正向化

  • 产品质量（极大型）：保持不变。
    • A: 85, B: 90, C: 75, D: 80
  • 价格（极小型）：需转换为极大型。\(\max=210\)。
    • A: \(210-200=10\)
    • B: \(210-180=30\)
    • C: \(210-210=0\)
    • D: \(210-190=20\)
  • 交货准时率（极大型）：保持不变。
    • A: 0.95, B: 0.90, C: 0.85, D: 0.92

正向化矩阵 \(Y\)：

\[ Y = \begin{bmatrix} 85 & 10 & 0.95 \\ 90 & 30 & 0.90 \\ 75 & 0 & 0.85 \\ 80 & 20 & 0.92 \end{bmatrix} \]

2. 数据标准化（极差法）

  • 产品质量：\(\min=75\), \(\max=90\)，范围 15。
    • A: \((85-75)/15 = 0.6667\)
    • B: \((90-75)/15 = 1.0000\)
    • C: \((75-75)/15 = 0.0000\)
    • D: \((80-75)/15 = 0.3333\)
  • 价格：\(\min=0\), \(\max=30\)，范围 30。
    • A: \((10-0)/30 = 0.3333\)
    • B: \((30-0)/30 = 1.0000\)
    • C: \((0-0)/30 = 0.0000\)
    • D: \((20-0)/30 = 0.6667\)
  • 交货准时率：\(\min=0.85\), \(\max=0.95\)，范围 0.1。
    • A: \((0.95-0.85)/0.1 = 1.0000\)
    • B: \((0.90-0.85)/0.1 = 0.5000\)
    • C: \((0.85-0.85)/0.1 = 0.0000\)
    • D: \((0.92-0.85)/0.1 = 0.7000\)

标准化矩阵 \(Z\)：

\[ Z = \begin{bmatrix} 0.6667 & 0.3333 & 1.0000 \\ 1.0000 & 1.0000 & 0.5000 \\ 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 \\ 0.3333 & 0.6667 & 0.7000 \end{bmatrix} \]

3. 构建边际效用函数（分段数 \(k=5\)）

分段点：\(0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0\)。采用线性递增边际效用，即 \(u(0)=0\), \(u(0.2)=0.2\), \(u(0.4)=0.4\), \(u(0.6)=0.6\), \(u(0.8)=0.8\), \(u(1.0)=1.0\)。对任意 \(z\)，按所在分段线性插值。

4. 计算各方案的总效用

  • 方案A：
    • 产品质量 \(0.6667\)：介于 \(0.6\) 和 \(0.8\) 之间，插值得 \(0.6 + (0.6667-0.6)/(0.8-0.6)\times(0.8-0.6) = 0.6 + 0.3335\times0.2 = 0.6667\)（巧合等于数值）。
    • 价格 \(0.3333\)：介于 \(0.2\) 和 \(0.4\) 之间，插值得 \(0.2 + (0.3333-0.2)/(0.4-0.2)\times(0.4-0.2) = 0.2 + 0.6665\times0.2 = 0.3333\)。
    • 交货准时率 \(1.0\)：等于 \(1.0\)，效用 \(1.0\)。
    • 总效用 \(U_A = 0.6667 + 0.3333 + 1.0 = 2.0000\)
  • 方案B：
    • 产品质量 \(1.0\)：效用 \(1.0\)。
    • 价格 \(1.0\)：效用 \(1.0\)。
    • 交货准时率 \(0.5\)：介于 \(0.4\) 和 \(0.6\) 之间，插值得 \(0.4 + (0.5-0.4)/(0.6-0.4)\times(0.6-0.4) = 0.4 + 0.5\times0.2 = 0.5\)。
    • 总效用 \(U_B = 1.0 + 1.0 + 0.5 = 2.5000\)
  • 方案C：
    • 产品质量 \(0.0\)：效用 \(0\)。
    • 价格 \(0.0\)：效用 \(0\)。
    • 交货准时率 \(0.0\)：效用 \(0\)。
    • 总效用 \(U_C = 0.0000\)
  • 方案D：
    • 产品质量 \(0.3333\)：介于 \(0.2\) 和 \(0.4\) 之间，插值得 \(0.2 + (0.3333-0.2)/(0.4-0.2)\times(0.4-0.2) = 0.2 + 0.6665\times0.2 = 0.3333\)。
    • 价格 \(0.6667\)：介于 \(0.6\) 和 \(0.8\) 之间，插值得 \(0.6 + (0.6667-0.6)/(0.8-0.6)\times(0.8-0.6) = 0.6 + 0.3335\times0.2 = 0.6667\)。
    • 交货准时率 \(0.7\)：介于 \(0.6\) 和 \(0.8\) 之间，插值得 \(0.6 + (0.7-0.6)/(0.8-0.6)\times(0.8-0.6) = 0.6 + 0.5\times0.2 = 0.7\)。
    • 总效用 \(U_D = 0.3333 + 0.6667 + 0.7 = 1.7000\)

5. 计算指标权重

各指标边际效用的总变化均为 \(1-0=1\)，因此权重相等，各为 \(1/3\)。

6. 排序

\(U_B = 2.5 > U_A = 2.0 > U_D = 1.7 > U_C = 0\)，故供应商B最优，C最差。

结论：供应商B在产品质量和价格上表现最佳，总效用最高；供应商C在所有指标上均处劣势，排序最差。

常见问题

Q1: 分段数 \(k\) 如何选择？

A: 分段数决定了边际效用函数的精细程度。分段数越多，函数越能逼近任意形状，但可能导致过拟合且增加计算量。通常取 \(k=3 \sim 10\)，可根据样本量（方案数）和指标数量权衡。方案较少时建议取较小值。

Q2: 误差阈值 \(\sigma\) 的作用是什么？

A: 误差阈值用于控制线性规划模型中允许的排序误差（即方案总效用与先验排序的偏差）。本平台暂未实现完整线性规划，但保留了参数接口，供后续扩展。

Q3: 什么情况下需要使用“有排序向量”模式？

A: 当您已有历史排序或专家给出的先验排序（例如已知某些方案优于另一些方案）时，可选择此模式。平台将尝试估计边际效用参数，使得计算出的总效用与先验排序尽可能一致，从而“学习”出决策者的偏好。若无先验排序，则默认边际效用为线性。

Q4: 如何处理中间型和区间型指标？

A: 在“指标类型设置”中，选择相应类型并输入最优值（中间型）或区间上下限（区间型）。平台会在正向化阶段自动将数据转换为极大型。

Q5: 支持多工作表吗？

A: 支持。平台允许上传包含多个工作表的Excel文件，每个工作表可代表不同轮次、不同专家群体或不同评价体系的数据，系统会分别分析并输出结果，便于对比。

平台功能

UTASTAR法分析平台提供以下核心功能：

数据输入

  • 支持CSV、Excel、TXT多种格式。
  • Excel文件支持多工作表，自动识别工作表名称。
  • 数据格式要求：第一行为指标名称，第一列为方案名称，数据区域为数值型。若包含排序向量，请将其放在最后一列，并在参数中指定列号。

参数设置

  • 排序向量设置：选择“无排序向量（自动计算）”或“有排序向量（从数据中读取）”，若选择后者需指定排序向量列号。
  • 分段数：每个指标的分段数量（默认5）。
  • 误差阈值σ：控制模型允许的误差（默认0.05）。
  • 小数位数：控制输出精度（默认6位）。
  • 显示中间结果：可选是否展示正向化矩阵、标准化矩阵等中间步骤。
  • 指标类型设置：为每个指标指定类型（极大型、极小型、中间型、区间型），并设置相应参数。
  • 权重约束设置：可选为每个指标的权重设置上下限（0~1之间），用于约束权重范围。

结果展示

  • 详细分析报告：包含各方案的总效用值及排序。
  • 计算过程：展示原始数据、正向化矩阵、标准化矩阵、边际效用函数参数（权重）。
  • 可视化图表：总效用排名图、指标权重分布图。
  • AI智能分析：基于DeepSeek API自动解读结果，提供决策建议（每日限3次）。
  • 多格式导出：支持Excel和HTML报告下载。

工作表管理

  • 多工作表自动识别，支持批量分析。
  • 实时显示每个工作表的验证状态。
  • 支持对比不同工作表的权重分布与排序结果。

使用建议

  1. 准备阶段：明确评价对象和指标体系，确定每个指标的类型（极大型/极小型/中间型/区间型）。若有先验排序，准备排序向量列。

  2. 数据收集：使用平台提供的模板文件填写数据，确保数据完整且无缺失值。每个工作表可代表不同的数据集（如不同年份、不同专家组）。

  3. 参数设置：

    • 正确选择排序向量模式，若为“有排序向量”，务必确认列号正确。
    • 分段数可先取默认值5，后续根据结果稳定性调整。
    • 若对权重有先验约束，可设置权重上下限（例如某指标权重不得低于0.1）。

  4. 结果解读：

    • 总效用值反映了方案的综合表现，值越大越优。
    • 权重揭示了各指标在决策中的相对重要性，可结合领域知识判断合理性。
    • 若无先验排序，默认线性边际效用等价于标准化后的加权和（权重等权时即为简单加权平均）。

  5. 迭代优化：

    • 若结果与预期不符，可检查指标类型设置是否正确，或调整分段数。
    • 尝试使用“有排序向量”模式，输入历史排序，观察学习出的权重是否符合认知。
    • 对比不同工作表的结果，分析决策稳定性。

平台界面

官方地址：https://superr.online

UTASTAR法工具界面

平台界面包含：数据上传区、参数设置区、多工作表预览、分析结果展示和AI分析模块

参考文献：

  1. Jacquet-Lagrèze E, Siskos Y. Assessing a set of additive utility functions for multicriteria decision-making: the UTA method[J]. European Journal of Operational Research, 1982, 10(2): 151-164.
  2. 徐泽水. 不确定多属性决策方法及应用[M]. 清华大学出版社，2004.
  3. UTASTAR方法在供应商选择中的应用研究[J]. 运筹与管理，2010.