TOPSIS-RSR 法

方法概述

TOPSIS-RSR 组合评价法是将 TOPSIS（逼近理想解排序法）与 RSR（秩和比法）相结合的一种综合评价技术。该方法先利用 TOPSIS 计算各评价方案的相对贴近度，充分反映方案与理想解的接近程度；再以相对贴近度作为综合指标，运用 RSR 法进行编秩、回归分析和分档，从而获得更稳健的排序和等级划分结果。

TOPSIS-RSR 的核心思想是：

  • 通过 TOPSIS 获得各方案的贴近度 \(C_i\)，该值综合了各指标的信息，具有明确的几何意义。
  • 将贴近度视为新的“综合指标”，采用 RSR 法对其进行编秩、计算概率单位、建立回归方程，最终实现方案的分档评价。

该方法兼具 TOPSIS 的几何直观性和 RSR 的非参数分档优势，适用于需要将评价对象划分为若干等级的场景。

计算步骤

第一阶段：TOPSIS 计算相对贴近度

1.1 构建原始决策矩阵

设有 \(n\) 个评价对象，\(m\) 个评价指标，原始数据矩阵为：

\[ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \end{bmatrix} \]

1.2 数据正向化

将所有指标转化为极大型（越大越好）。根据指标类型选择相应公式（同普通 TOPSIS）。

1.3 数据标准化

采用向量归一化或其他方法，得到标准化矩阵 \(Z = (z_{ij})_{n \times m}\)。

1.4 确定权重

可采用主观赋值或客观方法（如熵权法）确定指标权重 \(w_j\)，满足 \(\sum w_j = 1\)。

1.5 构建加权标准化矩阵

\[ v_{ij} = w_j \cdot z_{ij} \]

1.6 确定正负理想解

\[ V^+ = (v_1^+, v_2^+, \ldots, v_m^+), \quad v_j^+ = \max_i v_{ij} \] \[ V^- = (v_1^-, v_2^-, \ldots, v_m^-), \quad v_j^- = \min_i v_{ij} \]

1.7 计算欧氏距离

\[ D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (v_{ij} - v_j^+)^2}, \quad D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (v_{ij} - v_j^-)^2} \]

1.8 计算相对贴近度

\[ C_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}, \quad 0 \le C_i \le 1 \]

得到贴近度向量 \(C = (C_1, C_2, \ldots, C_n)\)。

第二阶段：RSR 分档评价

2.1 以贴近度作为综合指标

将 \(C_i\) 视为 RSR 法的原始数据。

2.2 编秩

采用整次秩和比法或非整次秩和比法对 \(C_i\) 进行编秩。由于贴近度已是极大型，可直接从小到大编秩（整次法）或按比例分配（非整次法）。

2.3 计算 RSR 值

若使用整次法，RSR 即为编秩后的秩次（或经公式计算）；若使用非整次法，则 RSR 即为贴近度本身（因为 RSR 的公式实际上是对原始数据的线性变换）。实际应用中，常直接将贴近度作为 RSR 值使用，但为了符合 RSR 的定义，可进行如下处理：

\[ RSR_i = \frac{1}{n} \cdot r_i \] 其中 \(r_i\) 为 \(C_i\) 的秩次（整次法），或按非整次公式计算：

\[ RSR_i = 1 + (n-1)\frac{C_i - \min(C)}{\max(C) - \min(C)} \]

2.4 确定 RSR 的分布并计算概率单位

  1. 将 RSR 值从小到大排序，列出频数分布表，计算各组累计频数。
  2. 确定每组 RSR 值的平均秩次 \(\bar{R}\)。
  3. 计算平均秩次百分比：\(\frac{\bar{R}}{n} \times 100\%\)，最后一组用修正值 \(1 - \frac{1}{4n} \times 100\%\)。
  4. 将百分比转换为概率单位 Probit： \[ \text{Probit} = u + 5 \] 其中 \(u\) 为标准正态离差。

2.5 回归分析

以 Probit 为自变量 \(x\)，RSR 值为因变量 \(y\)，建立线性回归方程： \[ RSR = a + b \cdot \text{Probit} \] 检验回归方程的显著性（F 检验、t 检验），并计算决定系数 \(R^2\)。

2.6 分档评价

利用回归方程计算 RSR 估计值，或直接使用原始 RSR 值，按所需档数（如 3～5 档）进行分档。通常按百分位数或等距划分档位，并为各档赋予等级名称（如“优、良、中、差”）。

案例分析

案例背景：某企业需对四个供应商（A、B、C、D）进行评价，选取三个指标：产品质量（极大型）、价格（极小型）、交货准时率（极大型）。指标权重相等，采用向量归一化标准化，v=0.5 的 TOPSIS 计算贴近度，再对贴近度进行 RSR 分档。

原始数据如下：

供应商 产品质量 价格 交货准时率
A 85 200 0.95
B 90 180 0.90
C 75 210 0.85
D 80 190 0.92

第一阶段：TOPSIS 计算贴近度（过程略，参考 TOPSIS 案例）

得贴近度： - \(C_A = 0.614\) - \(C_B = 0.751\) - \(C_C = 0.000\) - \(C_D = 0.558\)

第二阶段：RSR 分档

1. 以贴近度作为 RSR 基础值

直接使用 \(C_i\) 作为 RSR 值（非整次法），或对其编秩。此处采用非整次法公式： \[ RSR_i = 1 + (4-1)\frac{C_i - 0}{0.751 - 0} = 1 + 3 \times \frac{C_i}{0.751} \] 计算得：

  • RSR_A = 1 + 3×0.614/0.751 = 1 + 2.452 ≈ 3.452
  • RSR_B = 1 + 3×0.751/0.751 = 4.000
  • RSR_C = 1 + 3×0/0.751 = 1.000
  • RSR_D = 1 + 3×0.558/0.751 = 1 + 2.229 ≈ 3.229

2. RSR 分布表

排序：C(1.000), D(3.229), A(3.452), B(4.000)

RSR 频数 累计频数 平均秩次 平均秩次百分比 Probit
1.000 1 1 1 0.25 4.33
3.229 1 2 2 0.50 5.00
3.452 1 3 3 0.75 5.67
4.000 1 4 4 0.9375 6.53

3. 回归分析

以 Probit 为自变量，RSR 为因变量，得回归方程： \[ RSR = -2.123 + 0.957 \times \text{Probit} \] （计算略）\(R^2 \approx 0.98\)，回归显著。

4. 分档（以 3 档为例）

根据 RSR 值或回归估计值分档：

  • 第1档（优）：RSR ≥ 3.5 → 供应商 B
  • 第2档（良）：2.5 ≤ RSR < 3.5 → 供应商 A、D
  • 第3档（差）：RSR < 2.5 → 供应商 C

结论：供应商 B 最优，C 最差，A 和 D 为良，与 TOPSIS 排序一致但给出了等级划分。

常见问题

Q1: 为什么要在 TOPSIS 之后再进行 RSR？

A: TOPSIS 提供了各方案与理想解的相对接近程度，具有明确的几何意义；RSR 则擅长对综合指标进行分档。两者结合既保留了 TOPSIS 的排序信息，又能将结果划分为有实际意义的等级。

Q2: 贴近度是否可以直接作为 RSR 值使用？

A: 可以。RSR 法要求数据是极大型，贴近度恰好满足（越大越优）。可以直接将其作为 RSR 值进行后续的分布分析，或按非整次法公式进行线性变换。

Q3: 如何选择分档数量？

A: 一般根据实际需要选择 3～5 档。可参考田凤调 (1993) 的分档方法，或根据样本量合理划分。

Q4: 权重如何确定？

A: 第一阶段 TOPSIS 的权重可由主观赋值或客观方法（如熵权法）确定。第二阶段 RSR 的权重为 1（即仅有一个综合指标）。

Q5: 支持多工作表吗？

A: 支持。平台允许上传包含多个工作表的 Excel 文件，每个工作表对应不同的数据集，系统会分别进行 TOPSIS 计算和 RSR 分档。

平台功能

TOPSIS-RSR 组合评价法平台提供以下核心功能：

数据输入

  • 支持 CSV、Excel、TXT 多种格式。
  • Excel 文件支持多工作表，自动识别工作表名称。
  • 数据格式要求：第一行为指标名称，第一列为方案名称，数据区域为数值型。

参数设置

  • 指标类型：为每个指标指定类型（极大型、极小型、中间型、区间型），并设置相应的参数。
  • 权重方法：可选择熵权法、手动设置或等权重。
  • TOPSIS 参数：标准化方法（极差法、Z‑score、比重法、向量归一化），权重使用方法（标准化后加权、距离中加权、两步均加权）。
  • RSR 参数：计算方法（整次秩和比法、非整次秩和比法），分档数量（2～15 档）。

结果展示

  • TOPSIS 中间结果：正负理想解、欧氏距离、相对贴近度。
  • RSR 中间结果：编秩结果、RSR 分布表、回归方程及检验。
  • 最终结果：各方案的贴近度、RSR 值、排序、分档等级。
  • 可视化图表：贴近度排序图、RSR 分布图、分档结果统计图。

AI 智能分析

  • 基于 DeepSeek API 自动解读结果，提供决策建议（每日限 3 次）。

多格式导出

  • 支持 Excel 和 HTML 报告下载。

使用建议

  1. 准备阶段：明确评价指标，确定各指标类型。如需主观权重，提前设定好。

  2. 数据收集：使用模板文件填写，每个工作表可代表不同的数据集。确保数据完整。

  3. 参数设置：

    • 正确设置指标类型。
    • 选择权重确定方法（推荐熵权法）。
    • 选择 TOPSIS 标准化方法（推荐向量归一化）。
    • 选择 RSR 计算方法（若希望保留比例信息用非整次法，否则用整次法）。
    • 设置合理的分档数量（3～5 档）。

  4. 结果解读：

    • 首先查看 TOPSIS 排序，了解方案优劣。
    • 检查 RSR 回归方程是否显著，若显著可用估计值辅助分档。
    • 分析分档结果，得出最终评价等级。
    • 利用 AI 分析获取专业建议。

平台界面

官方地址：https://superr.online

TOPSIS-RSR 工具界面预览

平台界面包含：数据上传区、参数设置区、多工作表预览、分析结果展示和 AI 分析模块

参考文献：

  1. Hwang, C.L., Yoon, K. (1981). Multiple Attribute Decision Making: Methods and Applications. Springer‑Verlag.
  2. 田凤调. 秩和比法及其应用[M]. 中国统计出版社，1993.
  3. 田凤调. RSR 法中的分档问题[J]. 中国卫生统计，1993,10(2):26-28.
  4. 基于 TOPSIS 与 RSR 的医院绩效综合评价方法研究[J]. 中国卫生统计，2010.