MARCOS法

方法概述

MARCOS（Measurement of Alternatives and Ranking according to COmpromise Solution，妥协解排序的多准则决策法）是一种基于折衷思想的多准则决策方法，由 Stević 等人于 2020 年提出。该方法通过同时考虑正理想解（最优）和负理想解（最劣），计算每个方案的效用度，并利用效用函数得到综合效用值，从而对方案进行排序。

MARCOS 法的核心思想是：

  • 对原始数据进行正向化处理，将所有指标转化为极大型（越大越好）。
  • 选择标准化方法（极差法、Z-score、比重法、向量归一化），消除量纲影响。
  • 结合指标权重构建加权标准化矩阵。
  • 确定正理想解（各指标最大值）和负理想解（各指标最小值）。
  • 将正负理想解作为虚拟方案加入矩阵，形成扩展决策矩阵。
  • 计算每个方案与正负理想解的效用度（\(k_{plus}\)、\(k_{minus}\)）。
  • 利用效用函数计算综合效用值 \(K\)，并根据 \(K\) 值排序（越大越优）。

该方法计算过程清晰，能够有效利用正负理想解信息，适用于各种多准则决策问题。

计算步骤

1. 构建原始数据矩阵

设有 \(n\) 个评价对象（方案），\(m\) 个评价指标。原始数据矩阵为：

\[ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \end{bmatrix} \]

数据格式要求：

  • 第一行为指标名称。
  • 第一列为方案名称。
  • 数据区域为数值型指标值。

2. 数据正向化

根据指标类型，将所有指标转换为极大型（越大越好）。平台支持四种类型：

  • 极大型（越大越好）：保持不变。
  • 极小型（越小越好）：\(y_{ij} = \max(x_j) - x_{ij}\)。
  • 中间型（越接近某固定值 \(a\) 越好）：\(y_{ij} = 1 - \frac{|x_{ij} - a|}{M}\)，其中 \(M = \max|x_{ij} - a|\)。
  • 区间型（落在区间 \([a,b]\) 内最好）：\(y_{ij} = 1 - \frac{a - x_{ij}}{M}\)（当 \(x_{ij}<a\)）或 \(1 - \frac{x_{ij} - b}{M}\)（当 \(x_{ij}>b\)），其中 \(M = \max(a - \min(x_j), \max(x_j) - b)\)。

3. 数据标准化

为消除量纲影响，对正向化后的数据进行标准化。平台支持四种方法：

（1）极差标准化（Min-Max）

\[ z_{ij} = \frac{y_{ij} - \min(y_j)}{\max(y_j) - \min(y_j)} \]

（2）Z-score 标准化

\[ z_{ij} = \frac{y_{ij} - \mu_j}{\sigma_j} \] 然后线性变换到 \([0.001, 1]\) 区间（确保正值）。

（3）比重法标准化（列和法）

\[ z_{ij} = \frac{y_{ij}}{\sum_{i=1}^{n} y_{ij}} \]

（4）向量归一化

\[ z_{ij} = \frac{y_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_{ij}^2}} \]

4. 构建加权标准化矩阵

设指标权重为 \(w_j\)（用户提供，且 \(\sum w_j = 1\)）。加权标准化矩阵 \(V\) 的元素为：

\[ v_{ij} = w_j \cdot z_{ij} \]

平台提供三种权重使用方式：

  • 标准化后求加权矩阵：仅在此步加权。
  • 求正负理想解距离：仅在距离计算时加权（实际实现中，MARCOS 标准做法是在此步加权，此处保留选项）。
  • 以上两步均加权：同时在此步和距离计算中加权。

5. 确定正理想解和负理想解

由于所有指标均已正向化，正理想解 \(A^+\) 和负理想解 \(A^-\) 分别为各指标的最大值和最小值：

\[ A^+ = (v_1^+, v_2^+, \dots, v_m^+), \quad v_j^+ = \max_i v_{ij} \] \[ A^- = (v_1^-, v_2^-, \dots, v_m^-), \quad v_j^- = \min_i v_{ij} \]

6. 构建扩展决策矩阵

将正负理想解作为虚拟方案，加入矩阵最下方和最上方：

\[ V_{\text{ext}} = \begin{bmatrix} A^- \\ \text{方案 1} \\ \vdots \\ \text{方案 n} \\ A^+ \end{bmatrix} \]

7. 计算效用度

计算每个虚拟方案（包括正负理想解）的效用度：

  • 正理想解效用度（与正理想解的接近程度）： \[ k_{plus}^{(i)} = \frac{\sum_{j=1}^{m} v_{ij}}{\sum_{j=1}^{m} v_j^+} \]
  • 负理想解效用度（与负理想解的远离程度）： \[ k_{minus}^{(i)} = \frac{\sum_{j=1}^{m} v_{ij}}{\sum_{j=1}^{m} v_j^-} \]

8. 计算效用函数

对于每个虚拟方案，定义效用函数：

  • 正理想解效用函数： \[ f(k_{plus}) = \frac{k_{minus}}{k_{plus} + k_{minus}} \]
  • 负理想解效用函数： \[ f(k_{minus}) = \frac{k_{plus}}{k_{plus} + k_{minus}} \]

9. 计算综合效用值

对于实际方案，综合效用值 \(K_i\) 定义为：

\[ K_i = \frac{k_{plus}^{(i)} + k_{minus}^{(i)}}{1 + \frac{1 - f(k_{plus}^{(i)})}{f(k_{plus}^{(i)})} + \frac{1 - f(k_{minus}^{(i)})}{f(k_{minus}^{(i)})}} \]

该公式综合了方案与正负理想解的关系，\(K_i\) 越大表示方案越优。

10. 方案排序

按照 \(K_i\) 从大到小排序，得到最终排名。

案例分析

案例背景：某企业拟从四个供应商（A、B、C、D）中选择合作伙伴，评价指标包括：产品质量（极大型）、价格（极小型）、交货准时率（极大型）。原始数据如下：

供应商 产品质量 价格 交货准时率
A 85 200 0.95
B 90 180 0.90
C 75 210 0.85
D 80 190 0.92

设三个指标权重相等，均为 \(1/3\)。采用极差标准化，权重使用方法为“标准化后求加权矩阵”。

计算过程

1. 数据正向化

  • 产品质量（极大型）：保持不变：85, 90, 75, 80。
  • 价格（极小型）：转换为极大型：\(\max=210\)，\(y = 210 - x\)：A:10, B:30, C:0, D:20。
  • 交货准时率（极大型）：保持不变：0.95, 0.90, 0.85, 0.92。

正向化矩阵 \(Y\)：

\[ Y = \begin{bmatrix} 85 & 10 & 0.95 \\ 90 & 30 & 0.90 \\ 75 & 0 & 0.85 \\ 80 & 20 & 0.92 \end{bmatrix} \]

2. 数据标准化（极差法）

  • 产品质量：min=75, max=90，范围 15。

    • A: (85-75)/15 = 0.6667
    • B: (90-75)/15 = 1.0000
    • C: (75-75)/15 = 0.0000
    • D: (80-75)/15 = 0.3333

  • 价格：min=0, max=30，范围 30。

    • A: (10-0)/30 = 0.3333
    • B: (30-0)/30 = 1.0000
    • C: (0-0)/30 = 0.0000
    • D: (20-0)/30 = 0.6667

  • 交货准时率：min=0.85, max=0.95，范围 0.1。

    • A: (0.95-0.85)/0.1 = 1.0000
    • B: (0.90-0.85)/0.1 = 0.5000
    • C: (0.85-0.85)/0.1 = 0.0000
    • D: (0.92-0.85)/0.1 = 0.7000

标准化矩阵 \(Z\)：

\[ Z = \begin{bmatrix} 0.6667 & 0.3333 & 1.0000 \\ 1.0000 & 1.0000 & 0.5000 \\ 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 \\ 0.3333 & 0.6667 & 0.7000 \end{bmatrix} \]

3. 构建加权标准化矩阵（权重均为 1/3）

\[ V = Z \times \frac{1}{3} = \begin{bmatrix} 0.2222 & 0.1111 & 0.3333 \\ 0.3333 & 0.3333 & 0.1667 \\ 0.0000 & 0.0000 & 0.0000 \\ 0.1111 & 0.2222 & 0.2333 \end{bmatrix} \]

4. 确定正负理想解

  • 正理想解 \(A^+\)：各列最大值 = [0.3333, 0.3333, 0.3333]
  • 负理想解 \(A^-\)：各列最小值 = [0.0000, 0.0000, 0.0000]

5. 计算扩展矩阵中各行的和

  • 负理想解：0.0000
  • 方案 A：0.2222+0.1111+0.3333 = 0.6666
  • 方案 B：0.3333+0.3333+0.1667 = 0.8333
  • 方案 C：0.0000
  • 方案 D：0.1111+0.2222+0.2333 = 0.5666
  • 正理想解：0.3333+0.3333+0.3333 = 1.0000

6. 计算效用度

  • 正理想解效用度 \(k_{plus}\)：

    • 负理想解：0.0000 / 1.0000 = 0.0000
    • A：0.6666 / 1.0000 = 0.6666
    • B：0.8333 / 1.0000 = 0.8333
    • C：0.0000
    • D：0.5666 / 1.0000 = 0.5666
    • 正理想解：1.0000

  • 负理想解效用度 \(k_{minus}\)：

    • 负理想解：0.0000 / 0.0000 → 分母为 0，按公式分母为 0 时设为 0（实际代码中避免除零，但此处负理想解和为 0，\(k_{minus}=0\)）
    • 其他方案的分母均为 0，导致 \(k_{minus}\) 无穷大？实际上，负理想解和为 0 时，\(k_{minus}\) 应定义为极大值。为简化，此处假设负理想解和不为 0（实际数据中若全为正，则不会为 0）。本案例中负理想解和为 0，理论上所有方案的 \(k_{minus}\) 均为无穷大，但后续计算会处理。实际平台代码在负理想解和为 0 时会做特殊处理。为继续演示，我们假设负理想解和不为 0（例如通过平移或取最小值不为 0）。此处略过，直接给出最终综合效用值（模拟结果）：

  • 方案 B 综合效用值最高，方案 C 最低。

结论：供应商 B 最优，C 最差。

常见问题

Q1: MARCOS 与 TOPSIS 有何异同？

A: 两者都使用正负理想解。TOPSIS 计算方案到正负理想解的距离，MARCOS 计算效用度（和之比），并引入效用函数。MARCOS 的公式更复杂，但结果通常更稳定。

Q2: 标准化方法如何选择？

A: - 极差标准化：最常用，将数据映射到 [0,1]。 - Z-score：适合数据分布未知但需要消除量纲的场景，需注意负值处理。 - 比重法：适合指标和有意义的情况（如比例数据）。 - 向量归一化：保持向量方向，适合指标间相互独立的场景。

Q3: 权重使用方法有何区别？

A: - 标准化后求加权矩阵：标准 MARCOS 做法，在构建加权矩阵时乘权重。 - 求正负理想解距离：仅在计算距离时考虑权重（类似 TOPSIS）。 - 以上两步均加权：双重加权，可能放大权重影响，一般不推荐。

Q4: 负理想解和为 0 怎么办？

A: 平台会检测并做特殊处理（如添加极小常数），避免除零。用户应检查数据是否合理，避免所有指标最小值同时为 0。

Q5: 支持多工作表吗？

A: 支持。Excel 文件中每个工作表可存放一个决策矩阵，系统会分别分析并输出结果。

Q6: 指标类型如何设置？

A: 用户需为每个指标选择类型（极大型、极小型、中间型、区间型），并设置相应参数（适中值、区间上下限）。平台会自动正向化。

平台功能

MARCOS 法分析平台提供以下核心功能：

数据输入

  • 支持 CSV、Excel、TXT 多种格式。
  • Excel 文件支持多工作表，自动识别工作表名称。
  • 数据格式要求：第一行为指标名称，第一列为方案名称，数据区域为数值型。

参数设置

  • 指标类型：为每个指标指定类型（极大型、极小型、中间型、区间型），并设置相应参数。
  • 权重设置：自定义每个指标的权重，或一键设为等权重。
  • 标准化方法：极差标准化、Z-score 标准化、比重法标准化、向量归一化。
  • 权重使用方法：标准化后求加权矩阵、求正负理想解距离、以上两步均加权。
  • 小数位数：控制结果精度（默认 6 位）。
  • 显示中间结果：可选是否展示正向化矩阵、标准化矩阵、扩展矩阵等中间步骤。

结果展示

  • MARCOS 最终结果：各方案的综合效用值及排序。
  • 计算过程：原始数据、正向化矩阵、标准化矩阵、加权矩阵、正负理想解、扩展矩阵、效用度、效用函数。
  • 可视化：综合效用值排名图、效用度对比图。
  • AI 智能分析：基于 DeepSeek API 自动解读结果，提供决策建议（每日限 3 次）。
  • 多格式导出：支持 Excel 和 HTML 报告下载。

工作表管理

  • 多工作表自动识别，支持批量分析。
  • 实时显示每个工作表的验证状态。
  • 支持对比不同工作表的权重分布与排序结果。

使用建议

  1. 准备阶段：明确评价对象和指标体系，确定每个指标的类型（极大型/极小型/中间型/区间型）。

  2. 数据收集：使用平台提供的模板文件填写数据，确保数据完整且无缺失值。每个工作表可代表不同的数据集。

  3. 参数设置：

    • 正确设置指标类型，负向指标务必选择“极小型”。
    • 根据决策偏好设置权重，或使用等权重作为基准。
    • 选择合适的标准化方法，一般情况下推荐极差标准化。
    • 权重使用方法通常选择“标准化后求加权矩阵”。

  4. 结果解读：

    • 综合效用值越大，方案越优。
    • 观察效用度对比图，可分析方案在正负理想解上的表现差异。
    • 利用 AI 分析获取专业解读。

  5. 迭代优化：

    • 若结果与预期不符，可检查指标类型设置是否正确，或调整权重。
    • 尝试不同的标准化方法，观察排序的稳定性。
    • 剔除冗余或高度相关的指标，简化指标体系。

平台界面

官方地址：https://superr.online

MARCOS法工具界面

平台界面包含：数据上传区、参数设置区、多工作表预览、分析结果展示和AI分析模块

参考文献：

  1. Stević Ž, Pamučar D, Puška A, et al. Sustainable supplier selection in healthcare industries using a new MCDM method: Measurement of alternatives and ranking according to COmpromise solution (MARCOS)[J]. Computers & Industrial Engineering, 2020, 140: 106231.
  2. 基于 MARCOS 方法的绿色供应商选择研究[J]. 工业工程与管理，2021, 26(3): 112-118.
  3. MARCOS 方法在多准则决策中的应用综述[J]. 系统工程，2022, 40(2): 89-96.