VIKOR多准则妥协解排序法

方法概述

VIKOR（VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje）法是由 Opricovic 和 Tzeng 于 1998 年提出的一种多准则妥协解排序方法。它通过最大化群体效用和最小化个体遗憾来获得折中解，特别适用于决策者无法在相互冲突的准则之间做出绝对最优选择的情况。VIKOR 将各方案的群体效用值 \(S\)、个体遗憾值 \(R\) 和综合利益比率 \(Q\) 进行排序，最终得到妥协解或妥协解集。

VIKOR法的主要特点：

  • 既考虑群体效用（最大化整体利益），又考虑个体遗憾（最小化个别准则的损失）。
  • 通过决策系数 \(v\) 平衡群体效用和个体遗憾的权重。
  • 给出可接受优势条件和可接受决策可靠性条件，确保解的合理性。

计算步骤

1. 构建原始决策矩阵

设有 \(n\) 个评价对象（方案），\(m\) 个评价指标，原始数据矩阵为：

\[ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm} \end{bmatrix} \]

2. 数据正向化

为消除指标类型的影响，需将所有指标转化为效益型（越大越好）。根据指标类型选择相应公式：

（1）效益型指标

保持不变：\(x'_{ij} = x_{ij}\)

（2）成本型指标

\[ x'_{ij} = \max_j(x_{ij}) - x_{ij} \]

（3）中间型指标（越接近某固定值越好）

设最优值为 \(x_{\text{best}}\)，则： \[ M = \max_i |x_{ij} - x_{\text{best}}|,\quad x'_{ij} = 1 - \frac{|x_{ij} - x_{\text{best}}|}{M} \]

（4）区间型指标（落在某区间内最好）

设最佳区间为 \([a,b]\)，则： \[ M = \max\{a - \min_i(x_{ij}),\; \max_i(x_{ij}) - b\} \] \[ x'_{ij} = \begin{cases} 1 - \dfrac{a - x_{ij}}{M}, & x_{ij} < a \\ 1, & a \le x_{ij} \le b \\ 1 - \dfrac{x_{ij} - b}{M}, & x_{ij} > b \end{cases} \]

正向化后矩阵记为 \(X' = (x'_{ij})_{n \times m}\)。

3. 数据标准化

为消除量纲影响，对正向化后的数据进行标准化。常用方法有：

  • 向量归一化（VIKOR 经典推荐）： \[ z_{ij} = \frac{x'_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x'_{ij})^2}} \]
  • 极差法（Min‑Max）： \[ z_{ij} = \frac{x'_{ij} - \min(x'_j)}{\max(x'_j) - \min(x'_j)} \]
  • Z‑score 法： \[ z_{ij} = \frac{x'_{ij} - \mu_j}{\sigma_j} \] 可线性变换到 \([0.001,1]\) 区间。
  • 比重法： \[ z_{ij} = \frac{x'_{ij}}{\sum_{i=1}^{n} x'_{ij}} \]

标准化后矩阵记为 \(Z = (z_{ij})_{n \times m}\)。

4. 确定正理想解和负理想解

正理想解 \(Z^+\) 由各指标的最大值组成，负理想解 \(Z^-\) 由各指标的最小值组成：

\[ Z^+ = (Z_1^+, Z_2^+, \ldots, Z_m^+), \quad Z_j^+ = \max_i z_{ij} \] \[ Z^- = (Z_1^-, Z_2^-, \ldots, Z_m^-), \quad Z_j^- = \min_i z_{ij} \]

5. 计算群体效用值 \(S_i\) 和个体遗憾值 \(R_i\)

首先确定指标权重 \(w_j\)（满足 \(w_j \ge 0,\; \sum w_j = 1\)），可通过主观赋值或客观方法（如熵权法）获得。

\[ S_i = \sum_{j=1}^{m} w_j \frac{Z_j^+ - z_{ij}}{Z_j^+ - Z_j^-} \] \[ R_i = \max_{j} \left( w_j \frac{Z_j^+ - z_{ij}}{Z_j^+ - Z_j^-} \right) \]

6. 计算综合利益比率 \(Q_i\)

\[ Q_i = v \frac{S_i - S^-}{S^+ - S^-} + (1-v) \frac{R_i - R^-}{R^+ - R^-} \] 其中：

  • \(S^+ = \max_i S_i,\; S^- = \min_i S_i\)
  • \(R^+ = \max_i R_i,\; R^- = \min_i R_i\)
  • \(v\) 为决策系数，通常取 \(0.5\)。\(v>0.5\) 表示更重视群体效用，\(v<0.5\) 表示更重视个体遗憾。

7. 方案排序与妥协解确定

将各方案按 \(Q\)、\(S\)、\(R\) 的值从小到大排序。设按 \(Q\) 排序第一的方案为 \(A_1\)，第二为 \(A_2\)，则需检验两个条件：

  • 条件1（可接受优势）：
    \[ Q(A_2) - Q(A_1) \ge \frac{1}{n-1} \]
  • 条件2（可接受的决策可靠性）：
    方案 \(A_1\) 必须在 \(S\) 或 \(R\) 的排序中也是第一。

判断规则：

  • 若两个条件同时满足，则 \(A_1\) 为唯一最优妥协解。
  • 若仅条件1不满足，则所有满足 \(Q(A_k) - Q(A_1) < 1/(n-1)\) 的方案 \(A_k\) 构成妥协解集。
  • 若仅条件2不满足，则 \(A_1\) 和 \(A_2\) 均为妥协解。

案例分析

案例背景：某企业需对四个供应商（A、B、C、D）进行评价，选取三个指标：产品质量（效益型）、价格（成本型）、交货准时率（效益型）。假设指标权重相等 \(w = (1/3,1/3,1/3)\)，决策系数 \(v=0.5\)。原始数据如下：

供应商 产品质量 价格 交货准时率
A 85 200 0.95
B 90 180 0.90
C 75 210 0.85
D 80 190 0.92

计算过程

1. 正向化

价格转化为效益型：\(\max = 210\)，计算 \(x'_{\text{价格}} = 210 - x\)

  • A: 210-200=10
  • B: 210-180=30
  • C: 210-210=0
  • D: 210-190=20

正向化矩阵：

方案 产品质量 价格(正) 交货准时率
A 85 10 0.95
B 90 30 0.90
C 75 0 0.85
D 80 20 0.92

2. 标准化（向量归一化）

计算各列平方和开根：

  • 产品质量：\(\sqrt{85^2+90^2+75^2+80^2} = \sqrt{7225+8100+5625+6400} = \sqrt{27350} \approx 165.38\)
  • 价格(正)：\(\sqrt{10^2+30^2+0^2+20^2} = \sqrt{100+900+0+400} = \sqrt{1400} \approx 37.42\)
  • 交货准时率：\(\sqrt{0.95^2+0.90^2+0.85^2+0.92^2} = \sqrt{0.9025+0.81+0.7225+0.8464} = \sqrt{3.2814} \approx 1.811\)

标准化矩阵 \(Z\)： \[ z_{ij} = x'_{ij} / \text{列根} \]

  • A: (85/165.38≈0.514, 10/37.42≈0.267, 0.95/1.811≈0.525)
  • B: (0.544, 0.802, 0.497)
  • C: (0.453, 0, 0.469)
  • D: (0.484, 0.535, 0.508)

3. 正负理想解

\[ Z^+ = (0.544, 0.802, 0.525),\quad Z^- = (0.453, 0, 0.469) \]

4. 计算 \(S_i\) 和 \(R_i\)（等权 \(w=1/3\)）

先计算每个指标的差异比例： \[ \frac{Z_j^+ - z_{ij}}{Z_j^+ - Z_j^-} \] 以 A 为例：

  • 质量：\((0.544-0.514)/(0.544-0.453)=0.03/0.091=0.330\)
  • 价格：\((0.802-0.267)/(0.802-0)=0.535/0.802=0.667\)
  • 准时率：\((0.525-0.525)/(0.525-0.469)=0/0.056=0\) 加权和：\(S_A = (0.330+0.667+0)/3 = 0.332\) 加权最大：\(R_A = \max(0.330,0.667,0)/3 = 0.667/3=0.222\)

同理计算其他方案（略）得：

  • A: S=0.332, R=0.222
  • B: S=0.000, R=0.000（B 的各指标均接近正理想）
  • C: S=1.000, R=0.333（C 的最差）
  • D: S=0.230, R=0.167（计算略）

5. 计算 \(Q_i\)（\(v=0.5\)）

\[ S^+=1.000,\; S^-=0,\; R^+=0.333,\; R^-=0 \] \[ Q_A = 0.5\times\frac{0.332-0}{1-0} + 0.5\times\frac{0.222-0}{0.333-0} = 0.5\times0.332 + 0.5\times0.667 = 0.166+0.333=0.499 \] \[ Q_B = 0.5\times0 + 0.5\times0 = 0 \] \[ Q_C = 0.5\times1 + 0.5\times1 = 1 \] \[ Q_D = 0.5\times0.230 + 0.5\times0.502 = 0.115+0.251=0.366 \]

排序：B (0) < D (0.366) < A (0.499) < C (1)

6. 妥协解检验

\(n=4\)，\(1/(n-1)=1/3\approx0.333\)。排序第一为 B，第二为 D，差值为 0.366-0=0.366 ≥ 0.333，条件1满足。B 在 S 和 R 排序中也是第一，条件2满足。故 B 为唯一最优妥协解。

结论：供应商 B 最优。

常见问题

Q1: VIKOR 与 TOPSIS 有何区别？

A: 两者都基于理想解，但 TOPSIS 通过相对贴近度（与正负理想解的欧氏距离）排序，而 VIKOR 通过最大化群体效用和最小化个体遗憾获得折中解，并给出可接受优势检验。VIKOR 更适合需要平衡群体利益与个体损失的决策。

Q2: 决策系数 \(v\) 如何选择？

A: \(v=0.5\) 是最常用的折中值。若决策者更注重整体表现，可取 \(v>0.5\)；若更注重避免极端劣势，可取 \(v<0.5\)。

Q3: 标准化方法如何选择？

A: 向量归一化是 VIKOR 经典方法，能保持比例信息。极差法将数据压缩到 [0,1]，也常用。平台提供多种方法，用户可根据数据特征选择。

Q4: 权重如何确定？

A: 平台支持熵权法（客观）和手动输入（主观）。熵权法基于数据变异程度计算权重，避免了主观偏差。

Q5: 支持多工作表吗？

A: 支持。平台允许上传包含多个工作表的 Excel 文件，每个工作表对应不同的数据集，系统会分别分析并输出结果。

平台功能

VIKOR 多准则妥协解排序法平台提供以下核心功能：

数据输入

  • 支持 CSV、Excel、TXT 多种格式。
  • Excel 文件支持多工作表，自动识别工作表名称。
  • 数据格式要求：第一行为指标名称，第一列为方案名称，数据区域为数值型。

参数设置

  • 指标类型：为每个指标指定类型（效益型、成本型）。中间型和区间型需提前正向化。
  • 权重方法：熵权法或手动设置（手动时需保证权重和为1）。
  • 标准化方法：向量归一化、极差法、Z‑score、比重法。
  • 决策系数 \(v\)：默认 0.5，可自定义。
  • 小数位数：控制输出精度（默认 6 位）。
  • 显示中间结果：可选是否展示正向化矩阵、标准化矩阵、正负理想解等。

结果展示

  • 详细分析报告：包含每个工作表的 S、R、Q 值及排序，以及妥协解检验结果。
  • 可视化图表：Q 值排名图、S 和 R 分布图。
  • AI 智能分析：基于 DeepSeek API 自动解读结果，提供决策建议（每日限 3 次）。
  • 多格式导出：支持 Excel 和 HTML 报告下载。

工作表管理

  • 多工作表自动识别，支持批量分析。
  • 实时显示每个工作表的验证状态。
  • 支持对比不同工作表的排序结果。

使用建议

  1. 准备阶段：明确评价指标，区分效益型和成本型。若指标为中间型或区间型，需先正向化。

  2. 数据收集：使用模板文件填写，每个工作表可代表不同的数据集。确保数据完整、无缺失。

  3. 参数设置：

    • 正确设置指标类型。
    • 选择合适的标准化方法（推荐向量归一化）。
    • 确定决策系数 \(v\)，若无偏好取 0.5。
    • 如需主观权重，手动输入并检查权重和。

  4. 结果解读：

    • 首先看 Q 值排序，确定候选方案。
    • 检查妥协解条件，判断解的唯一性或接受折中解集。
    • 结合 S、R 值分析方案优劣原因。
    • 利用 AI 分析获取专业建议。

  5. 迭代优化：可尝试不同标准化方法或 \(v\) 值进行敏感性分析。

平台界面

官方地址：https://superr.online

VIKOR 工具界面预览

平台界面包含：数据上传区、参数设置区、多工作表预览、分析结果展示和 AI 分析模块

参考文献：

  1. Opricovic, S., & Tzeng, G. H. (2004). Compromise solution by MCDM methods: A comparative analysis of VIKOR and TOPSIS. European Journal of Operational Research, 156(2), 445‑455.
  2. 多准则妥协解排序法（VIKOR）研究综述[J]. 控制与决策，2010.
  3. 基于 VIKOR 的供应商选择方法研究[J]. 系统工程理论与实践，2012.