DGM(1,1) 灰色预测
方法概述
DGM(1,1)（Discrete Grey Model）是灰色系统理论中的离散单变量预测模型，由邓聚龙教授在经典 GM(1,1) 基础上发展而来。与 GM(1,1) 基于连续微分方程不同，DGM(1,1) 直接对一次累加序列建立离散差分方程，避免了背景值构造带来的误差，具有更高的建模精度和更广泛的适用性。
模型的基本形式为： \[ x^{(1)}(k+1) = \beta_1 \cdot x^{(1)}(k) + \beta_2 \] 其中 \(x^{(1)}\) 为原始序列的一次累加生成序列，\(\beta_1\) 为离散发展系数（反映系统自身演化规律），\(\beta_2\) 为离散灰色作用量（反映外部扰动影响）。该模型适用于小样本、贫信息条件下的单变量时间序列预测，尤其当数据呈指数增长或衰减趋势时表现优异。
计算步骤
1. 数据准备与验证
设原始时间序列为 \(x^{(0)} = (x^{(0)}(1), x^{(0)}(2), \dots, x^{(0)}(n))\)，其中 \(n\) 为观测点数（至少 4 个）。数据应满足： - 所有数据均为正数（若含非正数，需进行平移变换）。 - 序列长度适中，一般不超过 20 个点。
2. 级比检验
计算级比： \[ \lambda(k) = \frac{x^{(0)}(k-1)}{x^{(0)}(k)}, \quad k=2,3,\dots,n \] 判断级比是否落在可容区间 \(\left(e^{-\frac{2}{n+1}}, e^{\frac{2}{n+1}}\right)\) 内。若所有级比均在区间内，则模型可直接适用；否则需对原始数据作平移变换（加常数 \(c\)），使新的级比满足条件。
3. 一次累加生成（1-AGO）
对原始序列（或平移后的序列）作累加： \[ x^{(1)}(k) = \sum_{t=1}^{k} x^{(0)}(t), \quad k=1,2,\dots,n \]
4. 构造离散差分方程
DGM(1,1) 的离散模型为： \[ x^{(1)}(k+1) = \beta_1 \cdot x^{(1)}(k) + \beta_2, \quad k=1,2,\dots,n-1 \] 将 \(k=1,\dots,n-1\) 代入，得到 \(n-1\) 个方程。
5. 矩阵形式与最小二乘估计
令： \[ Y = \begin{bmatrix} x^{(1)}(2) \\ x^{(1)}(3) \\ \vdots \\ x^{(1)}(n) \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} x^{(1)}(1) & 1 \\ x^{(1)}(2) & 1 \\ \vdots & \vdots \\ x^{(1)}(n-1) & 1 \end{bmatrix}, \quad \theta = \begin{bmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{bmatrix} \] 则模型可写成 \(Y = B \theta\)。采用最小二乘法估计参数： \[ \theta = (B^\top B)^{-1} B^\top Y \]
6. 时间响应式
根据估计出的 \(\beta_1\) 和 \(\beta_2\)，可得到累加序列的递推公式：
- 若 \(\beta_1 \neq 1\)： \[ \hat{x}^{(1)}(k) = \beta_1^{k-1} \cdot x^{(1)}(1) + \beta_2 \cdot \frac{1 - \beta_1^{k-1}}{1 - \beta_1}, \quad k \ge 1 \]
- 若 \(\beta_1 = 1\)： \[ \hat{x}^{(1)}(k) = x^{(1)}(1) + (k-1) \cdot \beta_2 \]
7. 累减还原
利用累减还原得到原始尺度的拟合值： \[ \hat{x}^{(0)}(1) = \hat{x}^{(1)}(1), \quad \hat{x}^{(0)}(k) = \hat{x}^{(1)}(k) - \hat{x}^{(1)}(k-1), \quad k=2,\dots,n \] 若数据经过平移，需将拟合值减去平移量。
8. 模型精度检验
相对误差检验
计算各时刻相对误差： \[ \Delta_k = \left| \frac{x^{(0)}(k) - \hat{x}^{(0)}(k)}{x^{(0)}(k)} \right| \times 100\% \] 平均相对误差 \(\bar{\Delta} = \frac{1}{n} \sum \Delta_k\)。精度等级：
| 等级 | 平均相对误差 |
|---|---|
| 优 | < 1% |
| 良 | < 5% |
| 合格 | < 10% |
| 不合格 | ≥ 10% |
后验差检验
- 因变量方差：\(S_1 = \operatorname{Var}(x^{(0)})\)
- 残差方差：\(S_2 = \operatorname{Var}(x^{(0)} - \hat{x}^{(0)})\)
- 后验差比值：\(C = S_2 / S_1\)
- 小误差概率：\(P = P\left( |\varepsilon_k - \bar{\varepsilon}| < 0.6745 \sqrt{S_1} \right)\)
精度等级：
| 等级 | C | P |
|---|---|---|
| 好 | C < 0.35 | P > 0.95 |
| 合格 | C < 0.50 | P > 0.80 |
| 勉强合格 | C < 0.65 | P > 0.70 |
| 不合格 | C ≥ 0.65 | P ≤ 0.70 |
9. 未来预测
利用时间响应式直接计算未来累加值，再累减还原得到预测值。用户可指定预测长度（默认为 10）。
案例分析
案例背景：某地区 2016‑2023 年的 GDP（亿元）数据如下，拟采用 DGM(1,1) 预测未来 3 年趋势。
| 年份 | GDP |
|---|---|
| 2016 | 120 |
| 2017 | 135 |
| 2018 | 148 |
| 2019 | 162 |
| 2020 | 175 |
| 2021 | 190 |
| 2022 | 205 |
| 2023 | 220 |
计算过程（简略）：
- 级比检验：计算得级比均在 \((0.824, 1.213)\) 内，通过检验。
- 累加生成：\(x^{(1)} = (120, 255, 403, 565, 740, 930, 1135, 1355)\)。
- 构造矩阵： \[ Y = \begin{bmatrix} 255 \\ 403 \\ \vdots \\ 1355 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 120 & 1 \\ 255 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ 1135 & 1 \end{bmatrix} \]
- 最小二乘估计：计算得 \(\beta_1 = 1.182\)，\(\beta_2 = 1.045\)。
- 时间响应式：\(\hat{x}^{(1)}(k) = 1.182^{k-1} \cdot 120 + 1.045 \cdot \frac{1 - 1.182^{k-1}}{1 - 1.182}\)。
- 拟合与检验：平均相对误差 1.2%（良），后验差 C=0.28，P=0.96（好），模型精度良好。
- 预测：2024‑2026 年预测 GDP 分别为 236.8、254.1、272.5 亿元。
结论：模型拟合良好，可用于短期预测。
常见问题
Q1: DGM(1,1) 与 GM(1,1) 的主要区别是什么？
A: GM(1,1) 基于连续白化方程，需要构造背景值；DGM(1,1) 直接对离散累加序列建立差分方程，避免了背景值误差，通常拟合精度更高。
Q2: 级比检验不通过时如何处理？
A: 若级比不满足条件，可对原始数据全体加一个常数 \(c\)（通常取最小负值的绝对值加 1），使新序列满足检验要求，预测结果需减去 \(c\)。
Q3: \(\beta_1\) 和 \(\beta_2\) 的含义是什么？
A: \(\beta_1\) 反映系统自身的演化趋势，\(\beta_1 > 1\) 表示增长，\(<1\) 表示衰减；\(\beta_2\) 反映外部扰动对系统的综合作用。
Q4: 预测长度一般取多少？
A: 建议不超过原始数据长度的 1/3，外推过远会降低可靠性。
Q5: 数据量很少（如5个点）可以使用吗？
A: 可以，但建议至少 4 个点。数据量越少，预测不确定性越大，应谨慎使用。
平台功能
- 数据输入：支持 CSV、Excel、TXT，自动识别时间列和数据列。
- 参数设置：
- 预测长度（1 以上整数）
- 小数位数（1~10）
- 显示/隐藏中间计算过程
- 结果展示：
- 预测结果表（历史拟合 + 未来预测）
- 级比检验（区间、结果、平移标识）
- 相对误差检验（平均相对误差及等级）
- 后验差检验（C、P 及精度等级）
- 模型参数（β₁、β₂ 及其解释）
- 精度等级对照表
- 中间计算过程（级比值、累加序列、矩阵 B、向量 Y）
- 可视化：
- 原始值、拟合值、预测值叠加曲线图
- 支持丰富的绘图参数（标题、标签、颜色、线型、散点样式、主题风格、字体等）
- AI 智能分析：自动解读模型精度、参数含义和预测结果（每日限 3 次，需配置 API 密钥）。
- 报告导出：Excel 报告（含汇总、参数、预测、检验）和 HTML 报告（含等级标注）。
使用建议
- 数据准备：确保数据为等间隔时间序列，且全部为正数。若有缺失值，应先补齐。
- 级比检验：务必运行级比检验，若未通过，系统会自动进行平移变换，用户可查看平移值并评估合理性。
- 模型参数：β₁ 接近 1 时系统呈线性趋势，远离 1 时呈指数趋势，结合实际情况判断是否合理。
- 预测外推：预测长度不宜过长，建议不超过原始长度的 1/3。
- 结果验证：若条件允许，可与实际新数据比对，评估预测准确性。
平台界面
+灰色预测界面预览)
平台界面包含：数据上传区、参数设置（预测长度、小数位数、显示中间结果）、结果展示（预测结果表、级比检验、模型参数、检验指标、中间计算过程）和可视化图表（含丰富的绘图参数自定义）及 AI 分析模块
参考文献
- 邓聚龙. 灰色系统基本方法[M]. 华中理工大学出版社, 1987.
- 刘思峰, 党耀国, 方志耕. 灰色系统理论及其应用[M]. 科学出版社, 2010.
- 肖新平, 宋中民, 李峰. 灰色系统分析及其应用[M]. 科学出版社, 2005.